Harmonisches Dreieck

Das Harmonische Dreieck oder Leibnizsches Harmonisches Dreieck von Gottfried Wilhelm Leibniz ist analog zum Pascalschen Dreieck aufgebaut:

• Die n-te Zeile beginnt und schließt am Rand mit ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$
• Jede Zahl ist die Summe der beiden unter ihr stehenden Zahlen

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}$

Die Einträge werden mit dem Symbol ${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$ bezeichnet, wobei die Nummerierung der Zeilen und Spalten mit 1 beginnt (dies wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt (bei 0 bzw. bei 1 beginnend)).

Es gilt die Rekursion

${\displaystyle \left[{n \atop 1}\right]=\left[{n \atop n}\right]={\frac {1}{n}},\qquad \left[{n \atop k}\right]=\left[{n+1 \atop k}\right]+\left[{n+1 \atop k+1}\right],\quad n\geq 1,1\leq k\leq n}$

Ein Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks ist gegeben durch

${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]={\frac {1}{k{\binom {n}{k}}}}={\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}}}$, d. h. die Einträge sind Stammbrüche.

Wegen ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ ergibt sich somit für die Summe der Nenner in der n-ten Zeile ${\displaystyle n\cdot 2^{n-1}}$. Beispiel: ${\displaystyle 5+20+30+20+5=5\cdot 2^{4}=80}$.

Für die Summe einer Diagonale ergibt sich wegen

${\displaystyle \left[{n+k \atop k}\right]=\left[{n+k-1 \atop k}\right]-\left[{n+k \atop k+1}\right]}$

die Teleskopsumme

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\nu }\left[{n+k \atop k}\right]=\left[{n \atop 1}\right]-\left[{n+\nu \atop \nu +1}\right]={\frac {1}{n}}-\left[{n+\nu \atop \nu +1}\right].}$

Wegen der Stammbrüche folgt durch Grenzübergang die Reihe von Leibniz:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left[{n+k \atop k}\right]={\frac {1}{n}}}$ für ${\displaystyle n\geq 1}$ bzw. ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n+k}{k}}}={\frac {n}{n-1}}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$